澳门开奖直播免费观看,张朝阳物理课开课！柱坐标下的拉普拉斯算符怎么求？快来一探究竟

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7月28日中午12点，《张朝阳的物理课》第219期上线。搜狐创始人、董事长兼CEO、物理学博士张朝阳坐在搜狐视频直播间，首先找到了柱坐标系下坐标基向量与单位基向量的关系，进而推导出柱坐标系下的散度表达式，并借助柱坐标系的度量和克里符号得到了拉普拉斯算子的具体表达式。在介绍了微分几何在曲线坐标系中的应用后，张朝阳用四维语言重新表达了电磁势的达朗贝尔方程，并指出了其隐含的协方差性。

计算圆柱坐标系的度量和Kerri符号，推导出拉普拉斯算子的表达式

在上一节物理直播课上，张朝阳介绍了球坐标系中的度量、克里根符号，以及对应的拉普拉斯算子的推导方法。这些方法在柱坐标系中同样可以运用，而且由于柱坐标系比球坐标系简单，所以得到的结果也比球坐标系简单很多。

直角坐标系中使用的坐标分量为（x，y，z），而圆柱坐标系中使用的坐标分量为

柱坐标的z与直角坐标的z相同，(r,φ)可以看作xy平面上的极坐标。

无论在什么坐标系下，拉普拉斯算子的含义都可以看作是散度算子和梯度算子的结合：先应用梯度算子，再应用散度算子。例如，对于标量场 f，其梯度为

因为 f 是标量场，作用于它的下指标的协变导数等价于作用于它的普通偏导数，所以我们有

如果总是考虑这些算子对标量函数的影响，我们可以直接把梯度算子看作一个四维向量，而不用考虑标量函数f：

上式中的F虽然是算符，但也可以看作是一个四维向量，作用于其上的协变导数遵循四维向量的协变导数规律。如果读者对这种表示不熟悉，可以自行在上式中加入标量场f，这样会更容易理解。

为了找到拉普拉斯算子的表达式，张朝阳把梯度算子F看作一个四维向量，并计算其散度：

因此整个推导思路可以概括为：先求梯度算子F的表达式，再求算子，最后利用上式求算子的表达式。

正如上节课所指出的，坐标系的基向量一般与曲线坐标系的单位基向量不同。假设柱坐标系的单位基向量为

然后可以根据这组基展开柱坐标中的位移元为

所以，柱坐标系的坐标基向量为

另一方面澳门开奖直播免费观看,张朝阳物理课开课！柱坐标下的拉普拉斯算符怎么求？快来一探究竟，利用勾股定理，我们可以得到

由此我们可以知道度量和度量的倒数是

感兴趣的读者还可以使用坐标基向量直接验证该度量是否满足

接下来张朝阳开始计算梯度算子的表达式，在之前的直播课中我们已经介绍过，柱坐标的梯度算子是

现在它用单位基向量来表示，所以我们需要把它转换成坐标基向量的展开来得到相应的向量分量，这很容易做到，结果是

因此，F 的组成部分是

这一结果也可由公式（1）得到：

该结果与以前的结果一致。

利用这个结果，我们可以得到拉普拉斯算子

为了得到最终的表达式，张利用度量矩阵的对角线性质，计算了公式中的 符号：

由于度量的各个分量最多依赖于 r，而与其他坐标无关，因此上式仅在 β=1 时才为非零。并且我们可以看出，上式中 α 的和中，只有 α=2 这一项为非零，因此我们有

因此，拉普拉斯算子可以写成

这个结果和上次直播课上呈现的结果一致。

（张朝阳推导了柱坐标系下拉普拉斯算子表达式）

用四维语言表达电磁势的达朗贝尔方程

在介绍完柱坐标系的拉普拉斯算子的推导之后，张朝阳转而介绍麦克斯韦理论的四维形式。电动力学的相关知识在去年的物理直播课上介绍过，但当时并没有以四维形式讲解，因此电动力学的相对论协方差性并不明显。根据当时的结果，洛伦兹规范条件下电磁势满足的方程为达朗贝尔方程：

考虑到 μ₀*ε₀=1/c²，上式可以写成

如果使用自然单位制，则 c = 1，坐标符号为

然后2023澳门全年资料大全免费，电磁势的达朗贝尔方程可以写成

请注意，在四维平坦时空中，度量是

因此，

这将使

然后

按建筑类型

利用前面的结果，电磁势的达朗贝尔方程可以重写为

这是四维形式的达朗贝尔方程。由于这里推导时采用了平坦时空的度量和相应的协变导数，因此该结果仅适用于平坦时空的直角坐标。

可以证明J是四维向量，∂ₐ∂ᵃ是标量算子，但这还不足以证明上式中的A是四维向量。如果要严格证明它是四维向量，最直接的方法就是解方程得到相应的解，然后用这个解证明相应的四维向量性质。有兴趣的读者可以参阅《张朝阳的物理课》第二册。

（张朝阳介绍达朗贝尔方程的协变形式）

据了解，《张朝阳的物理课》每周日中午12点在搜狐视频直播。网友可在搜狐视频APP的“关注流”中搜索“张朝阳”即可观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号可查看课程中的“知识点”短视频；此外，还可在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上阅读每节物理课的详细文章。